APRENDIENDO INTEGRALES

APRENDIENDO INTEGRALES 

_QUE SON LAS INTEGRALES

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce  una notación para la antiderivada de una función

A este grafo ∫ se le llama símbolo de  la integral y a la notación ∫f x  dx se le llama integral indefinida  de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama    conste de integración esta surge por la imposibilidad  de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

Esto se lee integral de fx del diferencial de x

DERIVADAS 

La derivada de una función, se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática f(x) trazada en función de x. Pero su implicación para modelar la naturaleza tiene una mayor profundidad de lo que pueda suponer esta simple aplicación geométrica. Despues de todo nos podemos contemplar dibujando triángulos finitos para descubrir la pendiente, de modo que ¿por qué es tan importante la derivada?. Su importancia radica en el hecho de que muchas entidades físicas tales como la velocidad, la aceleración, la fuerza y así sucesivamente, se definen como la tasa instantánea de cambio de alguna otra cantidad. La derivada nos puede dar un valor instantáneo preciso de la tasa de cambio y nos conduce a modelar de forma precisa la cantidad deseada.

Propiedades básicas de la integral

Comencemos con las cuatro propiedades básicas de la integral.Si tenemos presente la idea de la integral como área, será fácil reconocerlas y recordarlas. Las demostraciones formales de cada una pueden verse pulsando los botones de demostración. Para ver los dibujos a su tamaño real, pulsa sobre ellos.

• La integral conserva las desigualdades. Es decir, si tenemos dos funciones f y g integrables en un intervalo [a,b], y f(x)≤g(x)   en cada punto x del intervalo, entonces

         ∫ a b f(x)dx≤ ∫ a b g(x)dx

• La integral es aditiva respecto del intervalo. Es decir si f es una función acotada en un intervalo [a,b], y c es un punto entre a y b, entonces f es integrable en [a,b] si y sólo si lo es en cada uno de los en los intervalos [a,c] y [c,b]; y además

          ∫ a b f(x)dx= ∫ a c f(x)dx+ ∫ c b f(x)dx

• La integral de la suma es la suma de las integrales. Es decir, si f y g son dos funciones integrables definidas en el intervalo [a,b], entonces f+g es integrable en [a,b] y

         ∫ a b [ f(x)+g(x) ]dx= ∫ a b f(x)dx+ ∫ a b g(x)dx

• La integral de un número por una función es el producto del número por la integral de la función. Es decir, si f es una función integrable en un intervalo [a,b], y α   es un número real, entonces αf f es integrable en [a,b] y

         ∫ a b αf(x)dx=α ∫ a b f(x)dx

Integrales Indefinidas

La idea de la integral indefinida supuso un paso más en el camino de la abstracción emprendido por las matemáticas modernas. Con ella, la integral dejó de referirse únicamente a un modo de determinar las áreas que forman curvas y rectas para asumir la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático.

Dada una función f (x), se dice que la función F (x) es primitiva de ella si se verifica que F¿ (x) = f (x). La operación consistente en obtener la primitiva de una función dada se denomina integración, que es la inversa de la derivación.

De esta definición se desprende que la función f (x) posee infinitas primitivas, ya que si F (x) es primhtiva de f (x), también lo será cualquier otra función definida como G (x) = F (x) + C, siendo C un valor constante.

El conjunto de todas las primitivas de una función f (x) dada se denomina integral indefinida de la función, y se denota genéricamente como:

Las primitivas de una función forman una familia de curvas desplazadas verticalmente unas de otras. Así, la función f (x) = x tiene infinitas primitivas que difieren en una constante, tal como se muestra a la derecha.

Propiedades de las primitivas

Aplicando las propiedades de la derivación (ver t43), es posible determinar algunas propiedades comunes de la integración. Las siguientes propiedades de linealidad sirven para descomponer integrales complicadas en otras más sencillas:

• La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.
  
• La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.
  

Tabla de integrales inmediatas

En la tabla siguiente se resumen las reglas de integración de algunas funciones comunes. En general, se llama integrales inmediatas a las que se deducen directamente de esta tabla y de las propiedades de linealidad de la integración.

Recuerden que la practica hace al maestro lo mejor que se puede hacer después de terminar de leer todo este material informativo es ponerlo en practica para poder aprender sobre la marcha.